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今书网 -> 其他类型 -> 猫头鹰的万花筒 第163夜 以有限为无限
- 在继续讲物理之前，我想先暂停一下，谈一谈数学。爱因斯坦不是伟大的数学家。他本人也说过，他在数学上困难重重。1943年，一个叫芭芭拉的九岁小女孩给他写信，询问她在数学上遇到的困难，爱因斯坦如此回复道：“不必担心数学上的困难，我向你保证，我自己的问题甚至更严重。”
这听起来像个笑话，但爱因斯坦并没有开玩笑。他在数学上需要帮助：他需要学生和朋友，比如马塞尔·格罗斯曼（Marcel Gros**an），把数学耐心细致地解释给他听。但他作为物理学家的直觉令人惊叹。
在完成理论建构的最后一年，爱因斯坦发现他在和最伟大的数学家之一戴维·希尔伯特 （David Hilbert）竞争。爱因斯坦在哥廷根发表了一次演讲，希尔伯特也参加了。希尔伯特立刻意识到爱因斯坦正要做出重大的发现，他领悟了其中的要点，尝试超越爱因斯坦，抢先一步写出爱因斯坦正在缓慢构建的新理论的方程。
两位巨人向终点线的冲刺让人万分紧张，只要几天时间就能最后见分晓。爱因斯坦在柏林几乎每周都要发表一次公开演讲，每次都会 提出一个不同的方程，生怕希尔伯特在他之前找到答案，而这个方程每次都不对。最终在千钧一发之际——只领先希尔伯特一点点——爱因斯坦找到了正确的方程，赢得了比赛。
希尔伯特是个绅士，即使他在同一时间写出了非常类似的方程，他也从未质疑过爱因斯坦的胜利。事实上，他留下了一句非常优美的话，精准地描述了爱因斯坦在数学上遇到的困难，也许这也是在物理和数学之间普遍存在的困难。阐述理论所必需的数学是四维几何，希 尔伯特写道：大街上的任何一个年轻人都比爱因斯坦更懂四维几何，然而是爱因斯坦完成了这项工作。
为何是他呢？因为爱因斯坦具备一种独特的能力，他可以想象世界是如何构造的，在头脑里“看见”它，然后方程随之而来；方程是落实他对实在的洞见的语言。对爱因斯坦而言，广义相对论并不是一堆方程，它是被艰难转述为方程的关于世界的精神图景。这一理论背后的理念是时空会弯曲。
如果时空只有两个维度，我们生活在平面上，那就很容易想象“物理空间弯曲”意味着什么。那表示我们所生活的物理空间并不像平面桌，而是像山峰和山谷的表面。但我们所在的世界不止有两个维度，而是三个。实际上当把时间加进来的时候，是四个维度。
想象弯曲的四维空间会更复杂，因为在日常经验中，我们无法体验到时空可以弯曲的“更大空间”。但爱因斯坦可以毫不费力地想象出我们栖居的这个可被压扁、拉伸、扭曲的软体宇宙。多亏了这种清晰的想象力，爱因斯坦才率先完成了这个理论。
最终，希尔伯特和爱因斯坦之间的关系还是出现了一定程度的紧张。爱因斯坦发表正确方程的前几天，希尔伯特给一个期刊寄了一篇文章，表明他也十分接近同样的答案——甚至到了今天，科学史家试图评价两位科学巨人各自的贡献时，都会有所迟疑。但到了某一刻， 他们之间的紧张反而缓和了。爱因斯坦害怕比他更资深、更有权威的希尔伯特会把构造理论的功劳更多地归功于自己，但希尔伯特从未宣称率先发现了广义相对论——在科学领域中，关于优先权的纷争时常会愈演愈烈——这二人是智慧真正完美的体现，使紧张的气氛烟消云 散。爱因斯坦给希尔伯特写了一封绝妙的信，总结了他们共同做法的重要意义：
我们之间已经有了一点不愉快，起因我不愿去分析。我一直在同它所引起的痛苦做斗争，现在完全胜利了。我又怀着往日的友好想您，希望您也能这样对我。两个真正的朋友，能在一定程度上 从卑鄙的世俗中解脱出来，却不能相互欣赏，那真是太遗憾了。
宇宙发表方程两年后，爱因斯坦决定用它来描述整个宇宙空间，来考察宇宙的最大尺度，由此他有了另一个惊人的想法。数千年来，人类一直反躬自问，宇宙究竟是有限的还是无限的？两种假说都遇到了棘手的难题。无限的宇宙看起来并不合理：举例来说，如果宇宙是无限的，在某个地方肯定会存在一个与你一样的读者，正在读着同一本书（无限极其浩瀚，原子没有足够多的组合方式使物体全都有所差异）。
实际上，肯定不止一个，而会有无穷多的与你一模一样的读者……但 如果宇宙存在极限，那边界是什么呢？如果另一边空无一物，那么边界还有什么意义呢？
公元前6世纪，塔兰托的毕达哥拉斯学派哲学家阿尔库塔斯（Archytas）就写道： 如果我发现自己身处最遥远的天空，那里有不变的星辰，那么我能否伸展手臂或伸出一根手杖，抵达天空以外呢？如果做不到的话是很荒谬的；但如果做得到，那么外面就存在，要么是物质，要么是空间。以这种方式人可以抵达更远，直到尽头，反复问着同样的问题，是否总会有空间可以伸展手杖。
这两个荒谬的选择——无限空间的荒谬，与宇宙存在固定边界的荒谬——看起来都不合理。但爱因斯坦找到了第三条路：宇宙可以是有限的，与此同时没有边界。这是如何办到的呢？就如地球表面，它不是无限的，但也没有边界。
只要东西可以弯曲，这就会很自然地出现：地球表面就是弯曲的。在广义相对论中，三维空间当然也可以弯曲，因而我们的宇宙可以有限但无界。在地球表面，如果我沿直线一直走，并不会永无止境地前进下去，最终我会回到出发点。宇宙的构造也是同样的方式：如果我乘坐宇宙飞船始终向同一个方向行进，我会环绕宇宙一圈，最终返回地球。像这样有限但无界的三维空间，被称作三维球面。
要理解三维球面的几何，就要先回到普通的球面；皮球或地球的表面。为了表示飞机上 看到的地球表面，我们可以把平时画的大陆画成两个圆盘。
一个球面可以用两个圆盘来表示，沿着圆盘的边这两个圆盘平滑地连接在一起。 南半球的居民在某种意义上被北半球“包围”，因为无论他想从哪个方向离开他所在的半球，最终都会到达另一个半球。反过来也是一样：每个半球都包围另一个半球，也被另一个半球包围。
三维球面也可用相似的方式来表示，但要附加一个维度：两个球沿表面完全黏合 在一起。离开一个球面，就会进入另一个球面，正如我们离开了代表地球的一个圆盘就会进入另外一个。每个球面都包围也被另一个球面包围。
爱因斯坦的想法是，空间可以是个三维球面：体积有限（等于两个球体的体积之和）但无界。三维球面这一解决办法是爱因斯坦在1917年为解决宇宙边界问题撰写的文章中提出的。这篇文章开创了研究最大尺度的整个可见宇宙的现代宇宙学。宇宙膨胀的发现、大爆炸理论、宇宙起源问题以及许多其他发现都来源于此。
关于爱因斯坦的三维球面，我还观察到一件事。无论看起来多么难以置信，同样的理念早已由另一位来自完全不同文化体系的天才构思过：意大利最伟大的诗人，但丁·阿利吉耶里（Dante Alighieri）。在他的伟大诗篇《神曲》的第三篇天堂篇中，但丁展现了中世纪的宏 大视野，仿造亚里士多德的世界，地球在中心，被天球包围。
但丁在他的爱人贝雅特丽齐（Beatrice）的陪伴下，在一次奇妙的幻觉之旅中升入了最 外层的天球。他注视着下面的宇宙，旋转的天球和非常遥远的位于天球中心的地球。然后他 向更高的地方望去——他看到了什么呢？他看到一个被巨大的天使圈环即另一个巨大球面包围的光点，用他的话来说就是“包围也同时被我们的宇宙包围”。这是《天堂篇》第27篇中的 诗句：“宇宙的这一部分包围着前一部分，就像前一部分包围着其他部分。”在下一篇中也提到：“似乎被它所包围的东西包围”。光点和天使的圈环包围着宇宙，与此同时也被宇宙包围。这正是在描述三维球面！
但丁怎么会有如此现代化的观点呢？我认为首先是因为这位意大利最杰出诗人的绝顶智慧，这种智慧是《天堂篇》如此令人着迷的原因之一。其次也是因为但丁的写作时间比较早，是在牛顿让人们相信宇宙的无限空间是欧式几何的平直空间之前。但丁没有像我们那样 由于学习牛顿物理学而带来直觉上的局限。
但丁的科学素养主要受益于他的导师的教导。他的导师布鲁内托·拉蒂尼（Brunetto Latini）给我们留下了一本短小精悍的著作《珍宝之书》，这本书类似于中世纪知识的百科全书，用古法语和意大利文写成。在《珍宝之书》中，布鲁内托详细解释了地球是圆的这一 事实。但让现代读者感到好奇的是，他是用“内部”几何学而非“外部”几何学来解释的。也就 是说，他并没有写“地球像个橘子”，就像地球从外面看起来那样，而是这样写道：“两个骑 士如果以相反的方向跑得足够远的话，最终会在另一端相遇。”以及“一个人如果一直向前走，中途不被大海阻挡的话，他最终会回到出发点。”
换句话说，他采取了一种内部的而非外部的视角：即在地球上行走的人的视角，而非从远处看地球的人的视角。乍看起来，用这种方式解释地球是球体似乎毫无意义又复杂难懂。布鲁内托为什么不直接说地球像个橘子呢？
请思考：假如有只蚂蚁在橘子上爬，到某个点时它会发现自己上下颠倒，必须用腿上的小吸盘吸住橘子，以免掉下去。然而地球上的旅行者从来不会发现自己上下颠倒，腿上也无须那样的吸盘。布鲁内托的描述并没有看起来那么古怪。 现在来想一下。如果有个人从老师那儿学到，我们星球表面的形状是这样的：一直沿直线走，最终会回到出发点，那么进行下一步也许不会太困难，可以想象下整个宇宙的形状也是如此：一直沿直线飞，我们最终会回到出发点。
三维球面就是这样的空间：两个长翅膀的骑士朝相反的方向飞走，最终会在另一端相遇。用术语来说，布鲁内托在《珍宝之书》中提出的地球几何的描述是从内在几何学的角度（从内部看），而非外在几何学（从外部看）， 而这恰恰是把球面概念从二维推广到三维时最适合的描述方式。描述三维球面的最佳方式不是尝试“从外部看”，而是去描述在内部运动时会发生什么。
高斯提出的描绘曲面的方法，以及由黎曼推广的描绘三维或更高维空间曲率的方法，实 际上都是布鲁内托·拉蒂尼的方式。也就是说，这个想法不是要以“从外面看”的视角来描绘弯曲的空间，说明它在外部空间如何弯曲，而是要从一个在这个空间内部运动的人的视角来描述。
例如，布鲁内托观察到，在普通球体的球面上，一切沿“直线”的运动在走过相同的距离（赤道的长度）后都会回到起点。三维球面就是具有同样属性的三维空间。
爱因斯坦的时空并不是外部空间意义上的弯曲，它指的是内部几何上的弯曲，换句话说，从内部观察到的两点之间的距离，不遵循平直空间的几何学。在这个空间里，毕达哥拉斯定理并不成立，正如毕达哥拉斯定理在地球表面不成立一样。
有一种方法能让我们从内部理解空间曲率，无须从外部去看，这对后面要讲的内容很重要。想象你处在北极点，一直向南走到赤道，随身携带一个指向前方的箭头。一到赤道，你就向左转，但不改变箭头的方向。箭头仍然指向南，现在位于你的右手边。沿着赤道向东前 进一些，再转向朝北——仍然不改变箭头的方向，现在指向你身后。当你又到达北极点后，就完成了一个闭合回路——术语称为“圈”——箭头不再指向你出发时的方向。在完成回路的过程中，通过箭头改变的角度可以测算出曲率。
后面我会在空间中绘制一个圈，再来谈这种测量曲率的方法。这就是使圈量子引力得名 的“圈”。但丁在1301年离开佛罗伦萨，当时洗礼堂圆屋顶上的镶嵌图案快要完工。描绘地狱的镶 嵌图也许在中世纪的人眼里很恐怖，可对但丁来说一直是灵感的源泉。